血行力學篇：Navier-Stokes 方程式（穩態流速 vs 脈態流速 二）

文： 張國柱（台大名譽教授）

 

日期：2019/08/02

 

流體之流速需要完整的Navier-Stokes方程式與連續性方程式（equation of continuity）共同加以描述。Navier-Stokes方程式非常複雜且具有非線性項，難有解析解（analytic solution），但在若干條件的假設之下，可將此方程式線性化。本文所討論的穩態流速和脈態流速便是基於某些假設而將 Navier-Stokes 方線性化的結果。小小叮嚀：「吾人可以透過這些解析解來探索、了解循環系統，但是循環系統並不等價於這些方程式的解析解。」畢竟循環系統的血流非常複雜，血壓-血流關係並非如假設之線性關係！

 

前置說明

1.    Navier-Stokes方程式：流體元素（fluid element）所受之力的合力（net force），也就是慣性力（inertia force）等於重力、驅動力與黏滯力的總和；加速度則有瞬時加速度（transient acceleration）和位變加速度（convective acceleration）。

 

2.    基本假設：圓柱管具有圓的截面積，均勻、筆直又夠長；圓柱管的流體為不可壓縮（密度 ρ = 常數）的牛頓黏滯液（黏滯度 η = 常數），這將導致Navier-Stokes方程式的線性化。

 

3.    流體流速（fluid velocity）：無擾流（turbulent flow）存在的情況下，著重在完整發展的層流（fully developed laminar flow）；u = 軸向流速（axial flow velocity），v = 徑向流速（radial flow velocity），w = 周向流速（circumferential flow velocity）。

 

本文並不討論穩態流速和脈態流速解析解的推導，僅就所得之解析解加以討論其在循環系統之意義。對方程式的推導有興趣的朋友請參考「Navier-Stokes 方程式（2）：穩態流速 vs 脈態流速（一）。」

 

硬管的穩態流速（steady flow in rigid tube）

假設管子是硬管，而且流體流速不隨時間而改變，也就是 u 僅是半徑的函數而跟時間無關：u(r)，v = 0，w = 0。若將管子放在同一水平面上，任何一處的流體元素所受的重力完全一樣，可以忽略不計，因此作用在流體元素的慣性力便等於驅動力與黏滯力之和。對完整發展的流體而言，任一流體元素所受的驅動力與黏滯力，大小相等、方向相反，因此流體元素所受的慣性力為零。由此可以推導出具拋物線型態的流體流速，進一步得出 Poiseuille 定律：體積流量（volume flow，q_s）與硬管兩端點的壓力梯度（pressure gradient，k_s = Δp/L <0）、內半徑的四次方（r⁴）成正比，而與流體的黏滯度（η）成反比。也就是

 

q_s = －k_sπr⁴/8η ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）

 

Δp = 硬管下游與上游兩端㸃間的壓力差，Δp < 0；L = 硬管下游與上游兩端㸃間的距離，L > 0

 

硬管的脈態流速（pulsatile flow in rigid tube）

假設管子為硬管，流體流速隨時間而改變，也就是u不僅是半徑的函數而且跟時間有關：u(r,t)，v = 0，w = 0。此時脈態體積流量（q_p）與穩態體積流量（q_s）之比值如下，

 

q_p/q_s = （－8/Λ²）× (1－g) × e^iωt ⋯⋯⋯⋯⋯（2）

 

參數 g與Λ皆與頻率有複雜的關係；ω = 2πf。

 

公式（2）告訴我們一件有趣的事，那就是當 Womersley 參數為零時，q_p/q_s 的振幅為壹而相位角為零。也就是說當脈態壓力梯度 －k_p = －k_s × e^iωt，那麼低頻時的脈態體積流量 q_p ≈ q_s × e^iωt，由此可知低頻時之脈態壓力-流量關係與 Poiseuille 之穩態壓力-流量關係非常相近。但是隨著頻率參數 Ω 的增加，q_p/q_s 的振幅隨之下降，相位角變得更負。高頻時，其振幅趨近於零，而相位角趨近於負九十度。這是由於震盪流速無法跟上脈態壓力的變化，導致其振幅遠低於 Poiseullile 穩態流速。

 

附註：Womersley 參數 Ω = r(ρω/η)^1/2，r = 圓柱管的内半徑。

 

彈性管的脈態流速（pulsatile flow in elastic tube）

假設管子是彈性管，壁薄而且僅有些微的彈性，其流體流速隨時間而改變，也就是u和v不僅是半徑和時間的函數，而且跟距離有關：u(x,r,t)，v(x,r,t)，w = 0。此時脈態體積流量（q_p）與穩態體積流量（q_s）之比值如下，

 

q_p/q_s = （－8/Λ²）× (1－Gg) × e^iω(t-x/c) ⋯⋯（3）

 

G = 彈性因子（elastic factor）；c = 波速

 

比較公式（3）跟公式（2）可知：彈性管脈態流速與硬管脈態流速之差異在於彈性因子 G 和波速 c。由於 G 是複變函數，並決定於 ω，因此很難一眼看出其對脈態流速的影響。若比較彈性管和硬管之脈態流速的百分比差異，便可發現對所有的頻率而言，彈性管的流速值都比硬管的流速值來的高，但相差並不是很大。由於彈性管的 v(x,r,t)  並不為零，也就是彈性管具有管壁的徑向位移，這將使得脈態流速比較容易在彈性管運動。當彈性管的物理性質（如硬化係數）或幾何形態（如血管分叉）發生改變時，便會發生脈波的反射現象。

 

討論

1.    彈性管脈態流速的解析解是基於某些簡化的假設所得到的結果，這些假設中有一個特別之處，那便是管壁很薄而且僅有些微的彈性，因此管壁的徑向位移很小而波速很高。這些假設基本上都合乎心血管系統的要求，但有一點是彈性管與人體血管系統不同之處，那便是人體的血管多多少少是被周遭的組織所栓繫著，這個效應可反映在管壁的質量與硬度上，然而彈性管不被牽繋，可在流場下自由移動。被栓繫的血管和彈性管壁薄的假設相抵觸，但其所增加的血管硬度卻與微弱的管壁彈性相符合。

 

2.    彈性管脈態流速與硬管脈態流速的差異並非很大，但千萬不可認為硬管脈態流速是彈性管脈態流速的合理近似者，這是因為這兩個模型存在著極大的差異性：彈性管無論其管壁的彈性有多小，在流場下總是有管壁的徑向位移，這是硬管所沒有的特性。彈性管壁的徑向位移是導致脈態流速以波（wave）的形式往下游方向傳播的重要因素，因此在傳播的路徑上若有任何的障礙，都將產生波反射。循環系統中，脈態血流的波反射無所不在，這是因為動脈隨著遠離心臟而有幾何變化（geometric tapering）、彈性變化（elastic tapering）的特性，亦有血管分叉的現象。血管脈態血流的波反射是硬管脈態流速所無法解釋的，因為硬管系統缺乏管壁的徑向位移而無法呈現波傳播與反射的特性，因此硬管脈態流速難以描述循環系統的波動現象。

 

結語

1.    對硬管的穩態流速而言，公式（1）顯示：壓力-流量關係完全由黏滯阻力（viscous resistance）決定之。

 

2.    對硬管的脈態流速而言，公式（2）顯示：壓力-流量關係除了由黏滯阻力決定之外，脈動頻率是另一個重要的因子。這是因爲流體重覆加速、減速所造成的慣性所致。此時流體並沒有波動前進的事實，故無波傳播與反射的現象。

 

3.    對彈性管的脈態流速而言，公式（3）顯示：彈性管的物理特性也是決定壓力-流量關係的另外一個重要因素。這是因為流速不僅牽涉到流體的黏滯性和震盪頻率，也牽扯到管壁的彈性，這些因子都埋置在彈性因子 G 和波速 c 裡頭，此時脈態的壓力和流量是以波動的方式前進，這將導致脈波反射的存在。