血管力學篇（4）：圓柱管之血流效率優於橢圓管之血流效率
文：張國柱（Chang，Kuo-Chu）
台大名譽教授
主導流體行為最重要的物理原則是：Navier-Stokes方程式。今假設硬管（rigid tube）的流體具有穩態層流（steady laminar flow），且流體具有不可壓縮性（密度 = 常數）的牛頓黏滯液（黏滯度 = 常數），此時流體元素（fluid element）所受的力有三種：重力（gravitational force）、驅動力（driving pressure）和黏滯力（viscous force）。因此流體元素所受的合力，也就是慣性力（inertia force），便是重力、驅動力與黏滯力的總和：
慣性力 = 重力 + 驅動力 + 黏滯力 ⋯⋯⋯⋯（1）
其中
慣性力 = 流體密度 ×（瞬時加速度 + 位變加速度）
註：瞬時加速度（transient acceleration）；位變加速度（convective acceleration）
驅動力與黏滯力之平衡
若將硬管放在同一水平面上，任何一處的流體元素所受的重力完全一樣，可以忽略不計，因此作用在流體元素的慣性力便等於驅動力與黏滯力之和。對發展完全的血流（fully developed flow）而言，任一流體元素所受的驅動力與黏滯力，大小相等、方向相反，因此流體元素所受的慣性力為零，也就是
驅動力 = 黏滯力 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）
公式（2）代表流體元素受驅動力和黏滯力之作用的平衡狀態。
心臟之泵功率（pumping power）
考量循環系統之穩態特性，心臟用以驅動血液流動所付出的能量完全消耗在週邊循環之小動脈或細動脈（阻力性血管），也就是驅動力所做的功率（Hp）等於流體黏滯力所耗散的功率（Hd），因此
Hp = Hd ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）
根據定義：功率 = 力 × 速度。因此
Hp = －ΔP × πa2 × um；Hd = τ × 2πaL × um
ΔP = 硬管兩端點間的壓力差；ΔP < 0
τ = 管壁所承受之剪力（shear stress）
L = 硬管之長度
a = 硬管的內半徑
um = 平均流速
由於 Hp = －ΔP × πa2 × um，而 Q = 體積流量（volume flow）= πa2 × um，因此 Hp = －ΔP × Q。
根據 Poiseuille 定律：
－ΔP /Q = 8μL/πa4，可得 －ΔP = （8μL/πa4）× Q。故
Hp = （8μL/πa4）× Q2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）
由公式（4）可知：若硬管之內半徑不變，則驅動力所做的功率與體積流量的平方成正比；若體積流量不變，則驅動力所做的功率與硬管內半徑的四次方成反比。
圓柱硬管 vs 橢圓硬管
假設圓柱硬管之半徑為 a，其穩態血流為
Qs = (－ΔP) × (πa4/8μL)；
假設橢圓硬管之半短軸為 b 而半長軸為 c，那麼其穩態血流為
Qe = (－ΔP) × (πδ4/8μL)
其中 δ = [(2b3c3)/(b2+c2)]1/4。
那麼
Qe/Qs = δ4/a4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）
因為 Hs = （8μL/πa4）× Qs2；He = （8μL/πδ4）× Qe2，所以
He/Hs = （Qe2/Qs2）×（a4/δ4）⋯⋯⋯⋯⋯（6）
假設圓柱截面之周長等於橢圓截面之周長，也就是： a2 ≈（b2 + c2）；並假設 c/b = 2，那麼
δ4 = （64/125）× a4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）
結合公式（6）與（7）可知：
若 He = Hs，可得
Qe =(64/125)1/2 × Qs ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8）
公式（8）之意義為：若橢圓管之驅動力所做的功率與圓柱管之驅動力所做的功率相同，那麼橢圓管之體積流量會低於圓柱管之體積流量。
若Qe = Qs，可得
He =（125/64）× Hs ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9）
公式（9）之意義為：若橢圓管之體積流量與圓柱管之體積流量相同，那麼橢圓管之驅動力所做的功率會高於圓柱管之驅動力所做的功率。
結語
由公式（8）與（9）可知：圓柱管之血流效率優於橢圓管之血流效率。因此活體之循環系統，其動脈必須為圓形截面的圓柱管，心臟才能夠使用較低的功率達到最佳效益的血流以供應各組織、器官之所需。
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