血管力學篇（9）： 淺談動脈物理模型之建立
文： 張國柱（Chang，Kuo-Chu）
台大名譽教授
日期：2020/12/01
動脈物理模型之建立必須奠基於動脈系統之結構與功能，可分為：（1）集總模型（lumped model），（2）分布參數模型（distributed model）。今以體循環為例，加以說明。
體循環動脈系統之組成與功能
體循環動脈系統包含（1）具有緩衝心臟幫浦射血功能的主動脈和大動脈，（2）具有調控組織灌流的小動脈和細動脈。主動脈和大動脈的管壁中層含有較高量的彈性素（elastin），又稱為彈性血管（elastic arteries），是循環系統中形成連續性血流必備的組成。此外主動脈具有彈性漸縮（elastic tapering）、幾何逐漸變細（geometric tapering）、以及血管分支（branching）等特性，是造成多重脈波反射（multiple wave reflection）的主因。另一方面，週邊的小動脈或細動脈則含有較多量的血管平滑肌，又稱為肌性血管（muscular arteries）或阻性血管（resistance vessels），是產生血管阻力的所在。因此建立動脈物理模型時必須將彈性血管、肌性血管以及波反射等物理特性納入考量。
主動脈輸入阻抗頻譜（Aortic input impedance spectra，Zi）
時域（time domain）所量之主動脈血壓波與血流波經富利葉轉換（Fourier transformation）後利用歐姆定律，便可計算頻域（frequency domain）各諧波之阻抗振幅（magnitude）與相位角（phase angle）（註一），稱之為實測的主動脈輸入阻抗頻譜（measured Zi）。實測的 Zi 可用來評估動脈物理模型之合適性。
哺乳類動物之 Zi 具有如下之特徵：
（1） 振幅-頻率關係
頻率為零時，Zi 之振幅為總週邊血管阻力（total peripheral vascular resistance，Rp）（註二）。隨著頻率的增加，振幅隨之下降，並圍繞著主動脈特徵阻抗（aortic characteristic impedance，Zc）（註三）上下震盪而存在兩個低點；高頻之振幅則趨近於穩定之 Zc，Zc與動脈管的硬化程度有關。
（2） 相位角-頻率關係
頻率為零時，Zi 之相位角為零。隨著頻率的增加，相位角迅速下降而為負值，爾後在高頻部位繞著零軸震盪，其中第一個跨零點頻率可用來預測下行肢之波反射有效長度（effective length of wave reflection，d）（註四）。
動脈系統的集總模型：Windkessel 模型
德文字「Windkessel」的英文意義是「elastic reservoir」，也就是「彈性儲存器」的意思。將體循環動脈系統視為「Windkessel 脈管」，這意謂著動脈管除了具有導流功能（conduiting function）外，亦存在著緩衝功能（cushioning function）。
（1） 導流功能
心臟以高壓的方式將血液由近心端推至遠心端週邊的組織和器官，形成導流（conduiting flow）。
（2） 緩衝功能
收縮期，心臟將血液往動脈管壓送時，從左心室進入主動脈的血量高於從細動脈灌流至組織的血量，此時部分的心搏出量（stroke volume）能夠擴張主動脈，形同將血流的動能轉換成管壁的彈性能（elastic energy）；舒張期，管壁的反彈將使這些彈性能轉換成推動血液流動的動能，造成心週期的連續性血流。
「Windkessel 模型」的最大貢獻者為德國學者 Otto Frank，可由質量守恆原理推導而得。若以Q 代表進入主動脈之血流；Qa 代表單位時間儲存於動脈之體積；Qp 代表流向週邊阻性血管之血流，那麼血管系統之質量守恆可用微分方程表示如下：
Q = Qa + Qp = (∂V/∂P) (∂P/∂t) + (P/Rp) = C(∂P/∂t) + (P/Rp)
C = (∂V/∂P) = 動脈容積度（arterial compliance），P = 動脈壓，Rp = 總週邊血管阻力。稍作整理可得：
(∂P/∂t) + (P/RpC) = Q(t)/C ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）
此即「二元件-Windkessel 模型」，是動脈管以 C 並聯 Rp （C//Rp）做為負荷（load）之電路模型，其阻抗頻譜為：
Zi(ωk)2-WK = Rp / (1+jωkRpC) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）
ω = 2πf；f = 基本頻率（即心跳）；k（即第 k 個諧波）= 0，1，2，3，⋯⋯⋯
「二元件-Windkessel 模型」加入主動脈特徵阻抗即構成「三元件-Windkessel 模型」，有各種不同的組合。若將 Zc 串聯至（C//Rp）之負載，其微分方程式則為：
C(∂P/∂t) + (P/Rp) = Q [1 + ( Zc/Rp)] + ZcC(∂Q/∂t) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）
其阻抗頻譜為：
Zi(ωk)3-WK = (Rp+Zc+jωkRpCZc)/(1+jωkRpC) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）
「二元件-Windkessel 模型」之輸入阻抗振幅隨頻率的增加持續下降，於高頻處趨近於零；「三元件-Windkessel 模型」之輸入阻抗振幅，隨頻率的增加而下降，於高頻處趨近於 Zc，但並沒有繞著 Zc 震盪，且不存在兩個低點。無論是「二元件- 或三元件-Windkessel 模型」，其輸入阻抗之相位角皆隨頻率的增加而迅速下降為負值，且無跨零點產生。這些結果是可以預期到的，因為「Windkessel 模型」是動脈系統的集總模型而非分布參數模型。「Windkessel 模型」雖然能夠將彈性血管和肌性血管的物理特性納入考量，但卻無法表現波反射之特性，因此不適用於動脈系統脈波傳輸與反射現象之探討。
動脈系統的分布參數模型：傳輸線理論（transmission line theory）
假設圓柱管為均勻且具彈性，那麼血壓波與血流波之波方程式（wave equations）為：
∂2P/∂t2 = c2(∂2P/∂x2)；∂2Q/∂t2 = c2(∂2Q/∂x2)
c 為波速。設若彈性管的長度為 L，任一時刻 t 在彈性管上任一位置 x 之血壓波為其前進波（Pf）與反射波（Pb）之和，亦即 P(x,t) = Pf(x,t) + Pb(x,t)，Pf 與 Pb 為同相（in phase）；血流波亦然，也就是 Q(x,t) = Qf(x,t) + Qb(x,t)，然而 Qf 與 Qb 卻是反相（out of phase）。
根據定義，特徵阻抗為反射波不存在的情況下，前進的血壓波對前進的血流波之比值，也就是Zc = Pf(x,t)/Qf(x,t)。特徵阻抗是頻率的函數，但當頻率稍一增加 Zc 便迅速下降而趨於穩定，不再隨頻率而改變，也就是 Zc = ρc/πr2，ρ 為血液密度，r 為血管之內半徑。
根據定義，波反射係數（wave reflection coefficient，Γ）為反射的血壓波對前進的血壓波之比值，亦即 Γ(x,t) = Pb(x,t)/Pf(x,t)。由於均勻管之波反射發生在血管末端載以負荷（ZT）處，也就是 Γ(L,t) = Pb(L,t)/Pf(L,t) = (ZT－Zc)/(ZT+Zc)，因此均勻彈性管之輸入阻抗（ZiU）為：
ZiU = Zc{[1+Γ(jω) exp(-2jωL/c)]/[1-Γ(jω) exp(-2jωL/c)]} ⋯⋯⋯⋯（5）
方程式（5）與方程式（2）、（4）之差異就在於動脈的分布參數模型將波反射納入其中，而「二元件-、三元件-Windkessel 模型」則無，由此可知分布參數模型比較貼近動脈系統的物理特性。
動脈結構的「非對稱 T-管模型（asymmetric T-tube model）」
之前提過：體循環動脈系統 Zi 之振幅隨頻率的增加而下降，並圍繞著 Zc 上下震盪而有兩個低點存在。這兩個低點暗示著體循環動脈系統存在兩個有效反射位置（effective reflection sites），分別位於頭頸部之上行肢以及胸腹部之下行肢，因此可將動脈系統想像成上、下行肢的並聯組成。由於上、下行肢之有效長度有所差異（上行肢較短、下行肢較長），因此體循環動脈系統類似非對稱的「T」字形態，是「非對稱 T-管模型」建立之基礎。
假設體循環動脈系統上、下行肢皆具彈性且為均勻之圓柱管，其輸入阻抗【即公式（5）】分別為 Zih(jω) 和 Zib(jω)，那麼「非對稱 T-管模型」之輸入阻抗 ZiT(jω) 則為上、下行肢輸入阻抗的並聯組成：
ZiUT(jω) = Zih(jω)//Zib(jω) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）
之前提過：主動脈具有彈性漸縮、幾何逐漸變細的特性，導致動脈管任何一處橫截面的兩側具有不相匹配的阻抗，造成多重反射現象。很多的研究人員為了簡化動脈結構的複雜性而將多重反射化約為單一反射，也就是假設彈性管具有均勻性，其脈波反射僅僅發生於均勻管與負荷接連處。然而這與動脈結構的非均勻性存在著極大的差異，有修正的必要。1996年，我們提出了「指數漸縮 T-管模型（exponentially tapered T-tube model）」來描述動脈管的非均勻性：「對上、下行肢而言，指數漸縮傳輸線可用來描述血管彈性漸縮、幾何逐漸變細的特性，並將多重反射表現於指數反射係數，用以計算輸入阻抗頻譜。」「指數漸縮 T-管模型」與「均勻 T-管模型」在計算輸入阻抗方面，最大的差異在於所採用波反射係數（Γ）之概念不同，有興趣的朋友請參考「Chang KC*, Kuo TS. Exponentially tapered t-tube model in characterizing arterial non-uniformity. J Theor Biol 1996;183:35-46」
結語
「Windkessel 模型」是動脈系統的集總模型，無法像分布參數模型將波反射的物理特性納入考量，因此 「Windkessel 模型」無法用來探討動脈系統的脈波傳輸與反射現象。基於傳輸線理論所建構的分布參數模型確實比「Windkessel 模型」更能貼近動脈系統的阻抗頻譜，但其物理、數學的架構比「Windkessel 模型」複雜許多，不易理解與應用。「Windkessel 模型」雖然無法反應波反射現象，但依然擁有有用的、有意義的生理參數，提供吾人對建構離體心臟、人工心臟之後負荷的理解和心室-動脈交互作用（ventricular-arterial coupling）的探討。因此在臨床應用上，「Windkessel 模型」確實是比分布參數模型來的簡明、易於使用。
註一
將動脈系統考慮為線性且為非時變之系統（linear and time-invariant system），以血流波作為此系統的輸入訊號，血壓波作為此系統的輸出訊號，那麼時域（time domain）的脈衝響應（impulse response）便可完整地量化動脈系統的物理特性。相對於時域脈衝響應之頻率響應（frequency response）便是頻域（frequency domain）的動脈阻抗頻譜。
時域所測得之血壓波與血流波經富利葉轉換（Fourier transformation）後採用歐姆定律之觀念，便可計算頻域之主動脈輸入阻抗頻譜（Zi），是為實測之Zi（measured Zi）：
Zi(ωk) = P(ωk)/Q(ωk)
= (|P(ωk)|∠P(ωk))/( |Q(ωk)|∠Q(ωk))
ω = 2πf；f = 基本頻率（即心跳）；k（即第 k 個諧波）= 0，1，2，3，⋯
|P(ωk)| = 血壓在第k個諧波之振幅
∠P(ωk) = 血壓在第k個諧波之相位角
|Q(ωk)| = 血流在第k個諧波之振幅
∠Q(ωk) = 血流在第k個諧波之相位角
因此主動脈輸入阻抗之振幅及相位角分別為：
|Zi(ωk)| = |P(ωk)|/ |Q(ωk)|
∠Zi(ωk) = ∠P(ωk) – ∠Q(ωk)
|Zi(ωk)| = 阻抗在第k個諧波之振幅
∠Zi(ωk) = 阻抗在第k個諧波之相位角
註二
總週邊血管阻力（Rp）可由平均血壓（Pm）與平均血流（Qm）計算之，其關係式為：【Rp = Pm/Qm】；Rp 與血液黏滯性（viscosity，η）、血管長度（L）、半徑（r）之關係則為：【Rp = 8ηL/πr4】。
註三
對傳輸系統而言，波速（c）決定於動脈之幾何結構（管壁厚度，h；半徑，r）、管壁生物材質之彈性模數（elastic modulus，E）和血液密度（ρ），其關係式為：【c2 = Eh/2rρ】；而特徵阻抗（Zc）與波速、動脈截面積之關係則為：【Zc = ρc/πr2】。
註四
均勻無摩擦管（uniformly frictionless tube）末端載以複頻負荷（complex load），其輸入阻抗相位角之跨零點頻率為：
fk = (c/4d) [(θ(fk)/π)+k] k = 0，1，2，3，⋯
c 為波速。若為實載負荷（real load），θ(fk) = 0，那麼
fk = (c/4d) (k)
此時輸入阻抗相位角的第一個跨零點頻率（f1）便可透過四分之一波長關係式（quarter-wavelength relationship）來計算有效反射長度（d）：【d = c/4f1】。
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