血管篇（1）：動脈波速與 Moens-Korteweg 方程式

文： 張國柱（Chang，Kuo-Chu）

         台大名譽教授

 

日期：2021/10/14

 

 

19世紀，許多出色的科學家總是在思索一個問題：「血管的物理性質與脈波（pulse wave）傳播速度之間是否存在著某種特定的關係？」脈波是彈性管壁運動（elastic wall motion）所造成的結果；在一個充滿血液的動脈管，血流迫使管壁因彈性（elasticity）所造成的膨脹擴張（distention）、反彈壓縮（compression）是循環系統造成脈波傳播的基本所在。對醫師、生理學家而言，管壁運動與血壓波/血流波在動脈管所形成的波動狀態是了解血管物理變化的重要線索，因此對這一關係的揭露，醫師、生理學家都抱持著相當大的期待。

 

動脈彈性與波速：Moens-Korteweg 方程式

假設圓柱管具有彈性，內徑為 R_i 且管壁厚度（h）很薄（h/R_i << 1）；管內充滿著不具黏滯性的液體（non-viscous fluid，η = 0），且以脈態的方式流動於彈性管內。由於流體不具黏滯性，流體元素（fluid element）在所有圓柱層面的運動，軸向（x 軸）流速（flow velocity，v）完全一樣，其輪廓圖為扁平狀。今考量圓柱管的一小段，長度為 dx，血壓波在 dt 時間間隔傳輸，波速（wave velocity，c₀）為 dx/dt。令流體流進 dx 的起端，體積流量（volume flow）為 Q_in，流出 dx 的終端，體積流量為 Q_out。由於管壁具有彈性，因此當流體流進 dx 時，管壁隨之膨脹而擴張，容納較多的液體於 dx，導致 Q_in > Q_out。

 

Moens-Korteweg 方程式之推導

（步驟一）根據牛頓定律推導流體運動方程式（equation of fluid motion），

（步驟二）根據質量守恆原理推導連續方程式（continuity equation）。

 

步驟一

根據牛頓定律，物體受力的合力（F）= 質量（m） × 加速度（a = dv/dt）。由於 F = PA，P = 壓力（pressure），A = 圓柱管之截面積（cross-sectional area），故

 

-dF/dx = d(AP)/dx ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）

 

負號代表流體由高壓流向低壓時，伴隨著能量的消耗。

 

假設管壁的徑向擴張（radial dilatation）相對於內徑來說很小，忽略 PdA/dx 並不會造成太大的誤差，因此

 

-dF/dx = -AdP/dx = (πR_i²dP)/dx ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）

 

此時對 dx 段之圓柱管而言，流體之質量為 dm = ρπR_i²dx，ρ 為流體密度；其軸向加速度為dv/dt，因此 dF = a × dm = (ρπR_i²dx)(dv/dt)，將 dF 代入公式（2），稍作整理可得

 

-dP/dx = ρdv/dt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）

 

公式（3）便是流體的運動方程式。

 

步驟二

體積流量（Q）為單位時間體積之變化量（dV/dt），也就是：Q = dV/dt。對 dx 段之圓柱管而言，dV = 2πR_idR_idx。因此

 

-dQ/dx = (dV/dt)/dx = 2πR_idR_i/dt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）

 

由於Q = v × A = v × πR_i²，而且 dQ = v × dA + A × dv。略去 v × dA 項，

 

-dQ/dx = -Adv/dx = -πR_i²dv/dx ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）

 

結合公式（4）和公式（5）可得徑向位移（radial displacement，dR_i），

 

-dR_i/dt = R_idv/2dx ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）

 

由於管壁很薄之圓柱殻所承受的圓周應力（circumferential stress，Sθθ）為： Sθθ = PR/h。若管壁厚度比圓柱管的外徑（Ro）小很多，也就是 h/Ro << 1，那麼增量圓周彈性模數（Einc）可表示如下：

 

E_inc = stress/strain ≈ (R_idP/h) (R_i/dR_i) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）

 

其中 dR_i/R_i = 應變（strain）。

 

稍作整理，將公式（7）之 dR_i 代入公式（6）可得

 

-dP/dt = (Eh/2R_i)(dv/dx) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8）

 

公式（8）為另一種形式的連續方程式。

 

將公式（3）對 dx 再作一次微分，

 

-d²P/dx² = ρd²v/dxdt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9）

 

將公式（8）對 dt 再作一次微分，

 

-d²P/dt² = (Eh/2R_i)(d²v/dxdt) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10）

 

結合公式（9）、公式（10）可得

 

(d²P/dt²) (2R_i/Eh) = d²P/ρdx²  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11）

 

最後，稍微調整公式（11）這個波方程式（wave equation）可得

 

(dx/dt)² = (c₀)² = Eh/2ρR_i ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12）

 

或是

 

c₀ = (Eh/2ρR_i)^1/2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13）

 

公式（12）或（13）就是描述波速與管壁彈性關係的 Moens-Korteweg方程式。

 

Moens-Korteweg方程式之生理意義與限制

（1） Moens-Korteweg方程式所描述的是無黏滯系統之管壁彈性與脈波速度之間的關係。對循環系統而言，黏滯性來自於（一）血液的本質特性，（二）血管壁的物理性質。血液的黏滯性導致動脈流速輪廓圖為抛物線而非扁平狀。血管壁的物理性質除了彈性之外，亦具黏滯性，造成血壓波、血流波的相位延遲。因此Moens-Korteweg方程式只是真實循環系統的化約近似，但公式（13）卻能幫助我們清晰了解動脈管壁彈性與波速之間的關係。

 

（2） Moens-Korteweg方程式所含之彈性模數很容易引起初學者的誤解，將管壁之彈性與彈性模數混為一談。根據定義，彈性模數等於應力（stress）對應變（strain）之比值。若對兩種不同的物質施予相同的應力，產生較大應變的物質一定比產生較小應變的物質具有較大的彈性，但其彈性模數卻較小。由此可知彈性模數愈小，管壁的彈性愈大，波速較慢；彈性模數愈大，管壁的彈性愈小，波速較快。

 

（3） Moens-Korteweg方程式所揭露的波速除了與管壁彈性的關係外，波速亦受管壁幾何結構改變的影響。當動脈管壁發生肥厚的現象，使得 h/2R_i 有意義的增加時，管壁幾何的改變會導致波速的增快。由此可知動脈管壁的硬化程度與肥厚狀態都可反應脈波的傳播速度，因此波速的量測可提供臨床診斷和藥物療效之有意義的評估。