血管力學篇（11）：骨骼肌微循環之血流

文： 張國柱（Chang，Kuo-Chu）

         台大生理退休

 

日期：2021/11/02

 

雖然男、女有別，但骨骼肌佔人體比率可達 30% 之多。骨骼肌之血流乃提供肌細胞養分，並將其代謝物移除。骨骼肌血流可調控肌纖維的生長和萎縮，並決定疾病時肌肉之反應。骨骼肌微循環（micro-circulation）是由細動脈（arteriole）、微血管（capillary）、細靜脈（venule）等之微細血管（microvessels）所組成，透過細動脈血管平滑肌的收縮或舒張，調控進入骨骼肌的血量。骨骼肌微血管之流速可從靜態休息的低灌流速率迅速地調整至運動狀態的高灌流速率，以應骨骼肌之所需，因此骨骼肌血流之探討須從微循環血流談起。

 

Navier-Stokes 方程式和連續方程式

微循環系統擁有龐大的微細血管網絡（microvascular network），其 Reynolds number、Womersley number都非常小，因此牛頓液（Newtonian fluid）之流速具有發展完全的輪廓圖。在此情況下，與黏滯力相比，慣性力可以忽略不計，僅僅考慮趨動力與黏滯力對流體元素（fluid element）之影響即可，此時之 Navier-Stokes 方程式為

 

0 = –(∂p/∂x_i) + η∇²v_i；i,j = 1,2,3  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）

 

其中

η = 流體之黏滯度（viscosity）；

 

∇² = 拉普拉期運算子（Laplace operator）= ∂²/∂x₁² + ∂²/∂x₂² +∂²/∂x₃²；

 

–∂p/∂x_i = 流體壓力梯度（fluid pressure gradient）；

 

η∇²v_i = 黏滯力（viscous force）。

 

在生理環境下，血漿（plasma）、全血（whole blood）皆具不可壓縮性（incompressible），其連續方程式為

 

∂v_j/∂x_j = 0；j = 1,2,3  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）

 

公式（1）、公式（2）是探討骨骼肌微循環血流的重要數學基礎。

 

微細血管之物性（physical properties）

血管具有黏滯彈性（viscoelasticity），微細血管自不例外。假設微細血管單純充滿血漿，血漿的流動將造成血管的膨脹擴張（distention），同時微細血管之微血管亦具有濾過（filtration）功能。同時存在的膨脹擴張和濾過作用將造成微細血管血流討論的困擾。因此使用不溶於水的矽氧聚合物（silicone polymer）處理，可以隔絕微細血管的濾過功能，若同時阻斷靜脈血流，便可建立均勻靜水壓（uniform hydrostatic pressure），以探討微細血管的物性。Skalak 和Schmid-Schonbein 指出：任何時刻微細血管的透壁壓（transmural pressure，P）是直徑應變（diameter strain，E）的線性函數，其中 P(t) = p(t) – p_t，p(t) = 血管之內壓（intravascular pressure），p_t = 相鄰之組織壓（tissue pressure）。

 

E(t) = (λ²–1)/2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）

 

其中 λ(t) = d(t)/d_o，d_o 為壁透壓等於零之參考直徑。實驗結果顯示：時變的（time varying）壁透壓與管壁黏滯彈性之統御微分方程式（governing differential equation）為

 

P + (β/α₁)(dP/dt) = α₂E + β(1+α₂/α₁)(dE/dt)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）

 

其中α₁、α₂ 為彈性係數，β 為黏滯係數。

 

單一血管之血流

由於微循環系統擁有龐大的微細血管網絡，討論起來很是複雜，因此從單一血管建立理論基礎，有助於對骨骼肌微循環血流的了解。假設單一血管為硬管，長度為 L，流體為穩態流動之血漿，其黏滯度為常數（牛頓液）。整合公式（1）與公式（2）可提供具圓形截面積之圓柱硬管的體積流量（volume flow，Q），也就是 Poiseuille 血流為

 

Q = (πa⁴/8ηL) × (–∂p/∂x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）

 

其中 a = 半徑 = d/2。在不同條件限制下，公式（5）可用來探討骨骼肌微循環之血壓-血流關係式。公式（5）之推導，請參考「Navier-Stokes 方程式之血行力學應用」一文。

 

（一）考量具黏滯彈性之微細血管，流體是穩態流動之血漿。在此情況下，穩態血流（dP/dt = 0、dE/dt = 0）迫使公式（4）成為

 

P = α₂E ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）

 

對處於大氣壓之組織而言，p_t = 0，因此 P 等於 p。將公式（3）、公式（6）代入公式（5），並對血管長度 L 作積分可得

 

Q = (πa₀⁴α₂/48ηL) × {[1+(2p_A/α₂)]³ – [1+(2p_V/α₂)]³} ⋯⋯⋯（7）

 

其中 p_A 和 p_V 分別為 x = 0 和 x = L 之壓力；a₀ = d₀/2。公式（7）為骨骼肌之基本血壓-血流關係式。由公式（7）可知血流同時是動脈壓與靜脈壓的函數，但與其他器官不同的是，骨骼肌內之細靜脈比細動脈更近似於硬管，因此當靜脈壓為常數時，骨骼肌微循環之血流是動脈壓的三階函數。公式（7）預測的結果與實驗數據非常接近，誤差極微。當動脈處於低壓區之血壓-血流關係式所呈現之非線性乃血管彈性所造成，但因骨骼肌微細血管具相對硬管特性，此非線性很是微小。這種預測可在全器官血壓-血流研究中獨立檢驗，因為網絡中每一血管若是遵從三次方原則，整個網絡也會遵守此項原則。

 

（二）若流體除了血漿外，亦含有血球，其有效黏滯度（apparent viscosity，η_a）將大於單純血漿之黏滯度，並受剪率（shear rate）影響，此時有效黏滯度並非常數。有效黏滯度是血球力學特性的函數，與血球聚集於、附著於內皮細胞有關。Schmid-Schonbein 指出：將非牛頓液（non-Newtonian fluid）特性納入考量的有效黏滯度，其經驗公式為

 

η_a = {k₁+k₂/(v_m/d)^α}²  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8）

 

其中 v_m 為流體之平均速度，k₁、k₂ 和 α 為實驗係數。設若 α = 1/2，將公式（8）帶入公式（5）可得

 

dp/dx = –(8Q/πa₀⁴P_n²) × {k₁+k₂[(2πa₀³/Q)P_n^3/2]^1/2}²  ⋯⋯⋯（9）

 

其中P_n = 正規化的壓力（normalized pressure）= 1+2p/α₂。公式（9）即是彈性管內流動著非牛頓血液的統御方程式，其解可用數值分析之 Runge-Kutta 技術加以積分而得。與血漿相比，紅血球可造成血管阻力的增加，然而彈性管的膨脹擴張可降低紅血球所增加的血流阻力，尤其是高動脈壓所造成大的膨脹擴張；但即使是很輕微地擴張也能有效地代償紅血球所帶來血管阻力的增加。

 

（三）若不考慮血管的舒縮調控（vasomotor control）效應，微循環似乎存有兩種因素可造成血流的非穩態（unsteady）現象：（1）血管的黏滯彈性，（2）在非穩態動脈壓的運作下，膨脹擴張的管壁與黏滯液彼此間動態交互作用所造成的脈態黏滯血流（pulsatile viscous flow）。考量微細血管短暫的彈性效應可迫使公式（4）成為

 

P = αE  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10）

 

其中 α = α₁ + α₂。令 A 為截面積，那麼

 

E = (1/2) × [(A/A₀) – 1] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11）

 

其中 A₀ 為截面積之基準參考值。對彈性擴張、不可滲透的血管而言，若流體不具壓縮性，此時質量守恆之連續方程式可寫為

 

∂Q/∂x = –∂A/∂t  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12）

 

公式（12）顯示微循環具有黏滯傳播（viscous propagation）的特性，因此 Q、P、E、A 皆為時間與圓柱管長軸位置 x 的函數。將公式（10）、公式（11）代入公式（12）可得

 

∂Q/∂x = – (2A₀/α) × (∂P/∂t)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13）

 

對公式（5）作 x 微分後，結合公式（13）可得統御方程式

 

∂P_n/∂t = C² × (∂²P_n³/∂x²)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14）

 

其中 C² = A₀α/48πη，P_n = 1 + 2P/α。公式（14）亦可改寫成 P_n³ 形式之具非線性係數的擴散方程式

 

∂P_n³/∂t = (3C²P_n²) × (∂²P_n³/∂x²)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15）

 

公式（15）之解可用有限差分近似法（finite difference approximation）求得。有趣的是：與大動脈管波傳輸（wave propagation）現象相反，微細血管並不存在具加速度之慣性力。

 

零血流血壓（zero-flow pressure，ZFP）

微循環系統中，動脈流入血流（arterial inflow，Q_A）為零之血壓稱為零血流血壓（ZFP）。對大白鼠股薄肌（gracilis muscle）之原位（in situ）、舒張（dilated）微循環灌流而言，硬管、單純血漿的公式（5）和彈性管、單純血漿的公式（7）計算所得之 ZFP 皆發生在動、靜脈壓力差（ΔP = P_A – P_V）為零之原點。但當彈性管之流體含有紅血球時，其 ZFP 卻發生在有限的、大於零的ΔP（約為 3～15 mmHg），如公式（9）之預期，將管壁的膨脹擴張因素納入考量時亦然。有趣的是理論血壓-血流關係的預測顯示：Q_A 在有限的、大於零的 ΔP 通過零血流軸，但此零血流軸之靜脈流出血流（venous outflow，Q_V）卻不為零，而是大於零。隨著 ΔP 的增加，Q_A 的增加逐漸大於 Q_V 的增加，約在 60 mmHg 或以上時，Q_A 大於 Q_V。至於非穩態灌流之狀況，當 Q_A 瞬間降為零時， P_A 需要較長的時間方能達到穩態狀態，因此在非穩態灌流下，可以觀察到較高但短暫的 ZFPs，短暫的 ZFPs 決定於多高的起始血壓和在何時所作的記錄。太多的因素會造成大白鼠股薄肌 Q_A 之 ZFP，這些因素包括肌肉內之細動脈吻合（arteriolar anastomoses）、血球的聚合以及動脈血流瞬間的變化。

 

結語

在沒有大血管存在的情況下，小型動物（如大白鼠）微循環之慣性力是可以不加考量的。即使是大型動物或人類，骨骼肌的大血管雖擁有慣性力，但因大血管數目和微血管數目比較起來可説是少之又少，因此公式（1）是可以成立的。然而公式（1）和公式（2）之特徵是這些方程式的解對複雜的邉界條件非常敏感，這些邉界條件與個別血管的幾何結構、網絡連結有關，因此建立骨骼肌微血管之解剖圖譜，有其必要性。未來骨骼肌微循環血流之發展必須納入其他影響微細血管灌流的因素，諸如骨骼肌的收縮、血球分佈以及血流的自調控機制（autoregulatory control mechanism）。