血管篇（4）：動脈容積度、動脈擴張性與動脈波速
文：張國柱（Chang，Kuo-Chu）
台大名譽教授
日期：2022/02/16
循環系統的血流（blood flow）必須具有連續性，然而左心室的射血是間歇性的（intermittent）動作。心臟收縮時，從左心室進入主動脈的血量高於從細動脈灌流至組織的血量，此時部分的心搏出量（stroke volume，SV）便會擴張管壁而暫存於主動脈和大動脈管內。於舒張期，左心室無射血動作，因此被擴張的動脈管因管壁反彈而將血液往心臓和週邊血管壓送。在心臟處，當主動脈瓣正常而無閉鎖不全時，血液無法回沖左心室，只能往週邊血管流動而形成連續性的血流。因此將左心室間歇性的射血轉化為循環系統的連續性血流，主動脈和大動脈管的彈性（elasticity）就扮演著唯一關鍵的角色。動脈管的彈性可用動脈容積度（arterial compliance，C）或動脈擴張性（arterial distensibility，D）或動脈波速（arterial wave velocity，c0）描述之。
動脈容積度
容積度：顧名思義就是當壁透壓（transmural pressure）增加時，血管能夠膨脹以便容納所增加之血量的能力，換句話說也就是當膨脹力消失後，動脈管壁能夠反彈而回復原有組態之趨勢或能力。
根據定義：容積度 = 單位壓力的改變（dP）所導致體積的變化量（dV），也就是
C = dV/dP ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）
穩態之動脈壓-體積關係曲線（橫座標為動脈壓，縱座標為體積）之斜率便是動脈容積度。當動脈壓固定時（假設為 100 mmHg），各個年齡層之斜率並不一樣：年齡愈大，斜率愈小，意味著老年人之動脈容積度有下降的趨勢。另一方面，針對某一固定的年齡層（如 20-24 歲之年輕人），動脈壓-體積曲線之斜率隨著動脈壓的增加而下降，意味著動脈容積度是動脈壓的非線性函數。
動脈壓-體積之非線性關係
Liu 等人於1986年使用「二元件-Windkessel 模型」推導動脈壓-容積度之非線性關係。「二元件-Windkessel 模型」是動脈管以 C 並聯血管阻力（Rp）為末端負荷（terminal load）之電路模型。假設動脈體積是動脈壓的指數函數（exponential function），那麼動脈容積度與動脈壓之間亦呈現指數關係，其數學式如下：
C(P) = [(SV×b)/K] × [exp(b×P)/[exp(b×Pi)－exp(b×Pd)] ⋯⋯⋯⋯⋯（2）
K = (As+Ad)/Ad，As 為主動脈曲線在收縮期所圍的面積，Ad 為主動脈曲線在舒張期所圍的面積；b 是血壓-體積關係之係數（在主動脈弓為 －0.0131 ± 0.009）；P 為動脈壓；Pi 為切跡（incisura）之血壓，也就是主動脈瓣關閉那一刻的血壓；Pd 為末期舒張壓。由公式（2）可知：動脈壓愈大，動脈容積度愈小。
主動脈容積度對平均動脈壓的影響
左心室收縮時，從左心室進入主動脈的血流（Qh）高於從細動脈灌流至組織的血流（Qr）。令Pma 為主動脈的平均壓，Pmr 為阻力性血管的平均壓，那麼週邊血管阻力：
Rp = (Pma－Pmr)/Qr ≒ Pma/Qr
根據定義：Ca = dVma/dPma = (dVma/dt)/(dPma/dt)。稍作整理可得 dPma/dt = (dVma/dt)/Ca。因為dVma/dt = Qh－Qr，所以
dPma/dt = (Qh－Qr)/Ca ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）
公式（3）指出：主動脈平均壓隨時間的變化率與主動脈容積度成反比關係。對一個心動週期而言，當左心室收縮開始將血液壓送至動脈管時，心輸出量（cardiac output，CO = Qh－Qr）和動脈壓隨之增加。倘若主動脈有小的容積度，那麼主動脈平均壓便能迅速地達到最終值。反之，當主動脈有大的容積度時，主動脈平均壓則緩慢地達到最終值。注意：動脈容積度並不影響最終的平均動脈壓，平均動脈壓的最終值僅受血管阻力所調控。
動脈容積度對脈摶壓的影響
為方便討論起見，假設動脈之血壓-體積關係為線性，那麼動脈容積度便為常數，不隨動脈壓而改變。在此假設下 Liu 等人於1986年使用「二元件-Windkessel 模型」推導出計算動脈容積度的數學式：
C = SV/[K × (Pi－Pd)] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）
為了探討 Pi 和 Pd 對脈摶壓（pulse pressure，PP）之關係，此處採用了這三者被廣為接受的關係式，
Pi ≒ Pm = Pd+(Ps－Pd)/3 = Pd+(PP/3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （5）
將公式（5）代入公式（4）可得
C = (SV/PP) × (3/K) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）
稍作調整可得
PP = (SV/C) × (3/K) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）
由公式（7）可知：脈摶壓與動脈容積度成反比關係。必須注意的是：動脈之血壓-體積關係實為非線性，因此公式（7）僅是一個非常單純的數學式，用以描述脈搏壓-動脈容積度-心搏出量之關係。
動脈容積度 vs 動脈擴張性
動脈擴張性之定義如下：
D = dV/(V0 × dP) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8）
V0 為動脈之初始體積（initial volume）。將公式（1）代入公式（8）可得
C = V0 × D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9）
雖然動脈容積度和動脈擴張性常被用來當作動脈彈性的指標，但兩者還是有所差異。由公式（9）可知：因為動脈擴張性排除了體積的干擾，因此動脈擴張性比動脈容積度更能貼切地描述動脈管壁的物理性質。
動脈擴張性與動脈波速
無黏滯系統之管壁彈性與脈波速度之間的關係可用 Moens-Korteweg方程式加以描述：
c0 = (Eh/2ρRi)1/2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10）
E 為管壁之彈性模數（elastic modulus），Ri 為內徑，h 為管壁厚度，ρ 為流體密度。此外Frank、Bramwell、Hill 等人使用動脈擴張性來表示波速的推導得到了另一個非常接近的方程式
c0 = (V0dP/ρdV)1/2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11）
將公式（8）代入公式（11）可得
c0 = (1/ρD)1/2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12）
由公式（12）可知：動脈波速與動脈擴張性成反比關係。動脈愈硬化，動脈擴張性就愈小，動脈波速就愈高，反之亦然。
馬凡氏症候群（Marfan syndrome ）之動脈容積度 vs 動脈波速
1989 年 Yin 等人發表了一篇有關馬凡氏症候群病人的動脈血行力學指標。馬凡氏症候群是一種遺傳性結締組織疾病，能夠影響心血管系統的物性與功能。Yin 教授的文章指出：與正常主動脈相比較，擴張的馬凡氏主動脈具有較高的動脈波速而呈現硬化的動脈管壁。由於容積度隨主動脈的大小或尺寸（size）而改變，因此推測擴張的馬凡氏主動脈會有較大的動脈容積度。高的動脈波速與大的動脈容積度彼此之間的矛盾主要來自於容積度並非是被常規化的物理量，會受動脈體積的干擾。由此可知：動物波速或動脈擴張性比動脈容積度更能貼切地描述動脈管壁的彈性特質。
結語
主動脈和大動脈管的容積度是循環系統具有連續性血流的唯一關鍵。動脈容積度是動脈壓的非線性函數：動脈壓愈高，容積度就愈低。動脈容積度並不影響平均動脈壓，卻以反比關係影響平均壓隨時間的變化率。此外動脈容積度也以反比關係影響脈摶壓。容積度與擴張性雖都可當作動脈彈性的指標，但兩者之間存在著差異性。由於動脈容積度（而非動脈擴張性）並非是被常規化的指標，因此在使用上必須排除動脈體積的干擾，否則容易與動脈波速或擴張性等指標產生相互矛盾的結果。
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