血流篇（4）：Bernoulli 方程式在循環系統之應用，

文：張國柱（Chang，Kuo-Chu）

        台大名譽教授 

 

日期：2022/05/07

 

流體由高壓往低壓的移動（fluid movement）是流體力學固有的物理特性，無法改變的原則。但循環系統卻存在著某些病變的區域，如動脈瘤（aortic aneurysm），使得血液的移動由低壓往高壓前行的反常現象，這是個難以解釋的棘手問題。此外血液流經狹窄孔口，如阻塞的血管或狹窄的瓣膜，該如何評估孔口兩側的壓力降（pressure drop），並藉由壓力降預測孔口狹窄的程度，也是個令人感興趣的問題。這些問題都無法經由 Poiseuille 定律得到合理的解釋，只有透過「Bernoulli 方程式」方能為之。本文主要是藉由「能量守恆」與「質量守恆」兩項物理原則推導「Bernoulli 方程式」，並討論其在心血管疾病之應用。

 

水行能量（hydraulic energy）

循環系統之水行能量可分為三種：

 

（1） 壓力能（pressure energy，W_p）

 

W_p = PV；P = 壓力（dyne/cm²）；V = 體積（cm³）

 

（2） 動能（kinetic energy，W_k）

 

          W_k = (1/2)mv² = (1/2) ρVv²；m = 流體質量；ρ = 流體密度；v = 流體速度（對穩態血流而言是指平均速度）

 

（3） 重力能（gravitational energy，W_g）

 

W_g = mgh = ρghV；g = 重力加速度；h = 高度

 

因此流體之總水行能量（W_T）為

 

W_T = PV + (1/2) ρVv² + ρghV

 

由於等式右邊每一項均含有 V，因此對 V 常規化可得

 

P’ = W_T/V = P + (1/2) ρv² + ρgh ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）

 

P’ = 單位體積之總水行能量 或是 淨等值壓（net equivalent pressure）

 

假設流體元素（fluid element）由圓柱管之 a 點前行至 b 點，那麼a、b 兩點之能量差為

 

P_a’ – P_b’ = (P_a – P_b) + (1/2) ρ(v_a² – v_b²) + ρg(h_a – h_b) ⋯⋯⋯⋯（2）

 

對循環系統而言，用於推動血液流動之能量，公式（2）比 Poiseuille 定律具有更廣泛的能量成分表現，這是因為 Poiseuille 定律僅僅考慮黏滯摩擦力（viscous friction）所消耗的能量。一般而言，循環系統之壓力能（W_p）比動能（W_k）或重力能（W_g）大上許多，但這並非是一成不變的狀況。

 

Bernoulli 方程式

假設圓柱管為硬管，硬管裡的流體具有不可壓縮的穩態層流。系統是由兩種均勻但管徑大小不同的圓柱管所組成（管 A之截面積 = A_a，管 B 之截面積 = A_b），流體由管 A 流向管 B，因此接合孔口（orifice of junction）兩側之流體水行能量分別為

 

A 側：P_a’ = P_a + (1/2) ρv_a² + ρgh_a

 

B 側：P_b’ = P_b + (1/2) ρv_b² + ρgh_b

 

假設流體流經截面積驟變之孔口，黏滯摩擦所造成的壓力降可忽略而無能量損耗，根據「能量守恆定理」，P_a’ = P_b’。若將硬管放在同一水平面，任何一處的流體元素所受的重力完全一樣，重力能（ρgh）可以忽略不計，因此

 

P_a + (1/2) ρv_a² = P_b + (1/2) ρv_b² ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）

 

根據「質量守恆定理」，不論管徑截面積如何變化，流經不同內徑圓柱管的流體流量（volume flow，Q）保持不變，因此

 

Aa × va = Ab × vb  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）

 

將公式（4）代入公式（3）後，稍作整理可得

 

P_a – P_b = (ρQ²/2)[(1/A_b²) – (1/A_a²)]  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）

 

公式（5）便是 Bernoulli 方程式。基於方便起見，以下之討論均假設管 A 之內徑 << 管 B 之內徑，也就是 A_a << A_b。

 

主動脈瘤

主動脈因管壁異常而造成擴張、膨大，其直徑若超過正常主動脈的 1.5 倍，就稱為主動脈瘤。可能的誘因有慢性高血壓、動脈硬化、膽固醇過高、血脂過高和血管老化，這些因素都可能導致主動脈管壁硬化而變的脆弱。此時血液猶如從管A 流進管 B，使得 P_b = P_a + (ρQ²/2)[(1/A_a²) – (1/A_b²)]。由於 A_a << A_b，所以 P_b >> P_a，導致主動脈瘤之管壁承受相當程度的張力（tension，T = PR，R = 血管半徑）。倘若病患處於某些情境因素（過度驚恐、憤怒、如廁用力過猛）使得血壓升高，將更加增添主動脈瘤管壁所承受的張力，有導致動脈瘤破裂而死亡的風險。       

 

狹窄孔口截面積之預測

假設狹窄孔口夠小，流經狹窄孔口之流速夠高，狹窄孔之黏滯耗損可以忽略，那麼便可經由Bernoulli 方程式預測狹窄孔口之面積。

 

假設狹窄孔口之截面積為 A_o，流體由管 B 流向管 A。流量係數（discharge coefficient，C_D）之定義如下

 

C_D = C_c [1 – (C_c A_o/A_b)²]^–1/2  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）

 

C_c = 窄縮係數（constriction coefficient）= A_a/A_o

 

將 C_c 代入公式（6），稍作整理可得

 

(1/A_a²) – (1/A_b²) = 1/(A_o² C_D²) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）

 

將公式（7）代入公式（5）可得

 

P_b – P_a = ΔP = (ρQ²/2)(1/A_o²C_D²)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8）

 

稍作整理可得

 

A_o = (Q/C_D)(ρ/2ΔP)^1/2  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9）

 

C_D 為 A_o、A_b、狹窄孔口形狀之函數。當 C_D 為已知或由實驗決定之後，便可使用公式（9）計算狹窄孔口之面積，評估狹窄之嚴重程度。注意：血流之單位為 ml/s；血壓為 dyne/cm²；面積為 cm²。

 

Golin 公式

Golin 和Golin 於1951年首次應用公式（9）計算心臟病患變形瓣膜之口徑。由於血液黏滯性、擾流、脈態血流和變形瓣膜的不規則形狀，C_D 很難以解析的方式預測，因此便以手術或病理解剖，直接由實驗測量病變瓣膜之 C_D，以便推估狹窄孔口之面積。

 

對僧帽瓣（mitral valve）而言，

 

A_o = Q/(31 × MPG^1/2)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10）

 

MPG = 平均壓力梯度（mean pressure gradient）

 

對主動脈瓣而言，

 

A_o = Q/(44.3 × MPG^1/2)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11）

 

結語

由 Bernoulli 方程式可知

 

（1） 假設流體由小管徑（管 A；截面積為 A_a）流向大管徑（管 B；截面積為 A_b）， 此時 B 側因截面積的增加而降低血流速度，導致動能的減少而增加壓力能（P_b），使得 P_b >> P_a。因此在接合孔口兩側，流體由低壓往高壓移動（如主動瘤）。

 

（2） 假設流體由大管徑（管 B；截面積為 A_b）流向小管徑（管 A；截面積為 A_a），此時 A 側因截面積的降低而增加血流速度，導致動能的增加而降低壓力能（P_a），使得 P_b >> P_a，因此在接合孔口兩側造成更大的壓力降（如主動狹窄或心臟瓣膜狹窄）。

 

（3） 正常的心血管系統，血管內徑（由寛到窄 或 由窄到寛）都是漸進式的變化，其壓力梯度的形成乃導源於流體黏滯能量的耗損，這也就是 Poiseuille 定律所描述的流體運動特性。然而在異常的狀況下（如主動脈瘤或心臟瓣膜狹窄），Bernoulli 原理則是影響血壓和血流的唯一因素。