血管力學篇（12）：血管阻力 vs 特徵阻抗

文： 張國柱（Chang，Kuo-Chu）

         台大名譽教授

 

日期：2023/08/27

 

血管阻力（vascular resistance，R_p）是描述「阻礙血液在血管內流動能力的參數」。根據定義：血管阻力 = 平均血壓（mean blood pressure，P_m)/平均血流（mean blood flow，Q_m）。特徵阻抗（characteristic impedance，Z_c）是描述「血管硬化程度的指標」；特徵阻抗 = 前進的血壓波（forward pressure wave，P_f)/前進的血流波（forward flow wave，Q_f）。本文所要討論的是血管阻力與特徵阻抗在循環系統的適用對象和生理、物理意義的差異。

 

血管阻力：硬管之穩態血壓—血流關係

循環系統之血液具有黏滯性（viscosity，μ），是流體的特性之一。血液黏滯性是對抗驅動流體流動的力，藉此維持流體流動的型態。假設圓柱硬管（rigid tube）裡的流體是具有穩態層流（laminar flow）且不可壓縮（密度 ρ = 常數）的牛頓黏滯液（μ = 常數），那麼對發展完整的血流（fully developed flow）而言，流體流速（fluid velocity，u）便具有拋物線的型態，由此可推導出平均血壓與平均血流之關係。

 

假設圓柱硬管的長度為 L、兩端點的壓力梯度（pressure gradient）為 -ΔP/L、內半徑為 R，那麼在半徑為 r 之圓柱殼，其流體流速 u(r) 如下：

 

u(r) = -ΔP(R² – r²)/4μL ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）

 

其中 ΔP = 硬管上、下游兩端點間的壓力差， ΔP < 0。

 

公式（1）指出流體流速之輪廓（velocity profile）具拋物線特性。對體積流量率（volume flow rate，Q）而言，

 

dQ = u(r) × 2πrdr  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）

 

由於圓柱管具對稱性，因此從 0 到 R 積分可得：

 

Q =（πR⁴/8μ）×（-ΔP/L）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （3）

 

公式（3）即是著名的 Poiseuille 定律。

 

根據定義：血管阻力 = 兩端點的壓力差對血流的比值。因此血管阻力便與血液黏滯度成正比，而與血管半徑的四次方成反比了，也就是

 

R_p = -ΔP/Q = 8μL/πR⁴ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （4）

 

由此可知血管阻力之所以與血管內半徑的四次方（而非平方）成反比，是因流體流速（u）之輪廓具有拋物線特性的緣故。此外血管阻力是用以描述硬管血壓與血流的穩態（steady state）關係，在循環系統中便是小動脈或細動脈的力學特性。

 

特徵阻抗：彈性管之前進血壓波—前進血流波關係

傳輸線理論（transmission line theorem）可用來探討彈性管脈態血流的波反射現象。假設彈性圓柱管夠長（R/L << 1）、管壁夠薄（h/R << 1）而且僅有些微的彈性（u_m/c₀ << 1），其中 h = 管壁厚度， u_m = 流速在 x 軸之平均值，c₀ = 脈波傳播速度，那麼結合 Navier—Stokes 方程式和連續性方程式（continuity equation）便可推導出一維波方程式（one-dimensional wave equations）如下：

 

∂²P/∂t² = c₀²(∂²P/∂x²)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）

 

∂²Q/∂t² = c₀²(∂²Q/∂x²)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）

 

一維波方程式指出彈性管內之脈態血壓和血流是由相同的波方程式所調控，且其傳播速度相同。但這並不代表血壓波和血流波具有相同的相位（in phase），相反地，血壓波和血流波彼此互為反相（out of phase）。脈態的血壓波和血流波可用其各自的前進波和反射波之和表示：P = P_f + P_b，P_f = 前進的血壓波，P_b = 反射的血壓波；Q = Q_f + Q_b，Q_f = 前進的血流波，Q_b = 反射的血流波。

 

使用變數分離法解波方程式可得：

 

Q_f(x,t) = (A/ρc₀)P_f(x,t) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）

 

Q_b(x,t) = －(A/ρc₀)P_b(x,t)  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （8）

 

其中 A = 截面積 = πR²。

 

根據特徵阻抗之定義：在沒有反射波存在的情況下，脈態的血壓—血流關係就是血管的特徵阻抗，也就是：

 

Z_c = P_f(x,t)/Q_f(x,t) = ρc₀/A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9）

 

c₀ = (Eh/ρ2R)^1/2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10）

 

其中 E = 楊氏係數（Young’s modules）。

 

公式（9）指出，特徵阻抗受血管截面積與波速所調控。僅在截面積不變的情況下，Z_c 隨波速而改變，此時特徵阻抗可作為動脈管硬化程度的指標：血管的硬化程度愈高，波速就愈快，特徵阻抗也就愈高，反之亦然。

 

血管阻力 vs 特徵阻抗

以體循環為例，動脈系統之功能性組成包含：（1）具緩衝血量功能的主動脈和大動脈；（2）具調控組織灌流的小動脈和細動脈。主動脈和大動脈管壁中層所含的彈性素（elastin）約為膠原蛋白（collagen）的兩倍，彈性良好，因此又稱為彈性血管（elastic arteries）；週邊的小動脈或細動脈所含的膠原蛋白約為彈性素的兩倍，顯得較具硬管的特性。小動脈或細動脈具有較多的血管平滑肌，稱為肌性血管（muscular arteries），可藉由血管平滑肌的收縮或舒張調控進入組織或器官的血流量，故又稱為阻力性血管（resistance vessels）。

 

從血流（blood flow）的觀點言，左心室的射血是間歇性的（intermittent）動作：收縮期，血液由左心室壓送至動脈管；舒張期，左心室則無射血動作，反倒是從左心房而來的填血動作。然而循環系統的血流必須具連續性以供各組織或器官行代謝之所需，因此將左心室間歇性的射血轉化為循環系統的連續性血流，主動脈和大動脈管的彈性度就扮演著唯一的關鍵性角色。

 

特徵阻抗可用來評估彈性管的硬化程度。公式（10）指出影響波速快慢的兩個血管因子：（1）當彈性管的硬化程度提高時，楊氏係數的增加將導致波速的增快而增加了特徵阻抗，（2）當管壁厚度對血管內徑的比值增加時，也就是血管肥厚（vascular hypertrophy）時，波速也隨之增快，造成特徵阻抗的增加。因此在彈性管截面積不變的情況下，特徵阻抗可以反應動脈管的硬化程度，反之亦然。

 

Poiseuille 定律僅適用於硬管。嚴格來說，Poiseuille 定律在循環系統並無英雄用武之地，因為循環系統中的血管，或多或少都具有彈性。然而週邊阻力性血管所含之膠原蛋白比彈性素高出甚多，因此小動脈或細動脈的硬度是比主動脈或大動脈高出甚多，因此可將之視為硬管。故Poiseuille 定律僅能應用於週邊循環系統，描述小動脈或細動脈的物理特性。

 

公式（4）指出，任何能夠影響血液黏滯性和血管內半徑的因子，都可影響血管阻力，繼而調控進入組織或器官的血流量。當血容比值（hematocrit）愈大，血液黏滯性愈高，R_p 就愈大；當剪率（shear rate）愈高，血液黏滯性愈低，R_p 就愈小。然而影響血管阻力最主要的因子還是血管内半徑。當支配血管平滑肌的交感神經活性增加時，血管平滑肌收縮而降低內半徑，血管阻力便提高了；當血管內皮細胞釋放一氧化氮（nitric oxide，NO）的能力或 NO 的生體可用率（bioavailability）降低時，血管平滑肌的舒張功能受損，造成了血管阻力的增加。

 

由此可知，血管阻力是描述小動脈或細動脈物性的生理參數，特徵阻抗則是描述主動脈和大動脈管硬化程度的生理指標，兩者的適用對象不同，物理和生理意義亦不相同。

 

結語

血管阻力是用以描述硬管穩態血壓與血流的關係，在循環系統中便是小動脈或細動脈的力學特性。血管阻力之所以與血管內半徑的四次方（而非平方）成反比，是因血液黏滯性導致流體流速之輪廓具有拋物線特性的緣故。特徵阻抗是用來評估彈性管硬化程度的指標，在循環系統中便是主動脈和大動脈管的力學特性。特徵阻抗受血管截面積與波速所調控，因此在彈性管截面積不變的情況下，特徵阻抗可以反應動脈管的硬化程度，反之亦然。由此可知血管阻力和特徵阻抗的適用對象不同，物理和生理意義亦不相同。