血管力學篇（2）：Womersley 公式 vs Poiseuille 定律
文： 台大張國柱
日期：2025/01/16
Navier-Stokes方程式，結合連續方程式（equation of continuity），可完整地描述圓柱管内流體的流速（fluid velocity）。Navier-Stokes方程式非常複雜且具非線性項，難有解析解（analytic solution）。但在若干條件假設下，可將此方程式線性化，以利穩態流速和脈態流速之討論。
前置說明
1. Navier-Stokes方程式：
流體元素（fluid element）所受力的合力，也就是慣性力（inertia force）等於重力、驅動力與黏滯力的總和；加速度則有瞬時加速度（transient acceleration）和位變加速度（convective acceleration）。
2. 基本假設：
管子具有圓的截面積，均勻、筆直又夠長；圓柱管的流體為不可壓縮（密度 ρ = 常數）的牛頓黏滯液（黏滯度 η = 常數），這將導致Navier-Stokes方程式的線性化。
3. 流體流速：
沒有擾流（turbulent flow）存在的情況下，本文著重在發展完成的層流（fully developed laminar flow）之討論；u = 軸向流速（axial flow velocity），v = 徑向流速（radial flow velocity），w = 周向流速（circumferential flow velocity）。
本文並不討論穩態流速和脈態流速之推導，僅就推導所得的解析解在循環力學之意義上加以討論。
硬管的穩態流速（steady flow in rigid tube）
假設圓柱管是硬管，而且流體流速不隨時間而改變，也就是 u 僅是半徑的函數而跟時間無關：u(r)，v = 0，w = 0。
若將管子放在同一水平面上，任何一處的流體元素所受的重力完全一樣，可以忽略不計，因此作用在流體元素的慣性力等於驅動力與黏滯力之和。
對發展完成的流體而言，任一流體元素所受的驅動力與黏滯力，大小相等、方向相反，因此流體元素所受的慣性力為零。由此可以推導出具拋物線型態的流體流速，進一步得出 Poiseuille 定律：體積流量（volume flow，qs）與硬管兩端點的壓力梯度（pressure gradient，ks = Δp/L <0）、內半徑的四次方（r4）成正比，而與流體的黏滯度（η）成反比，也就是
qs = －ksπr⁴/8η ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）
Δp = 硬管下游與上游兩端㸃間的壓力差，Δp < 0；L = 硬管下游與上游兩端㸃間的距離，L > 0。
注意：Poiseuille 定律僅適用於（1）具圓形截面積之圓柱硬管，其流體特性為穩態層流，（2）僅表達穩態的血壓-血流關係，也就是平均血壓與平均血流之關係，即血管阻力。
硬管的脈態流速（pulsatile flow in rigid tube）
假設圓柱管為硬管，流體流速隨時間而改變，也就是u不僅是半徑的函數而且跟時間有關：u(r,t)，v = 0，w = 0。此時脈態體積流量（qp）與穩態體積流量（qs）之關係如下，
qp/qs = (－8/Λ²) × (1－g) × eiωt ⋯⋯⋯⋯⋯（2）
公式（2）即為 Womersley 方程式，其中之參數 g 與Λ皆與 Womersley 參數或頻率參數（Ω）有關；Ω = r(ρω/η)1/2，r = 圓柱管的内半徑，ω = 2πf。
注意：將 qp(t) 作一個週期（T = 2π/ω）的積分，所得之結果為零。由於 q(t) = qs + qp(t)，因此一個週期的積分 (1/T) ∫q(t)dt = qs。這個結果證實了硬管的脈態流速僅是流體的前、後移動（back and forth movements），並沒有實質的流體流向任何方向的淨流（net flow）。
討論
公式（2）告訴我們一些有趣的事情，那就是
1. 當脈態壓力梯度 －kp = －ks × eiωt，那麼低頻的qp ≈ qs × eiωt，由此可知低頻之脈態壓力-流量關係非常趨近於穩態壓力-流量關係。當 Ω = 0 時，qp/qs 的振幅= 1而其相位角= 0，也就是當震盪頻率為零時，Womersley 方程式回歸到 Poiseuille 定律。
2. 隨著頻率參數 Ω 的增加，qp/qs 的振幅隨之下降，相位角變得更負。高頻時，其振幅趨近於零，而相位角趨近於負九十度，這是由於震盪流速無法跟上脈態壓力的變化，導致其振幅遠低於 Poiseullile 穩態流速。
3. 由於組織結構的差異，相對於主動脈及大動脈，小動脈及細動脈比較具有硬管的特性，因此在心臟搏動的情況下，週邊血管的血流應是 q(t) = qs + qp(t)。由於活體之心率並不高、週邊動脈之管徑也不大（也就是 Ω 趨近於零），那麼 |qp| ≈ |qs| 而且相位角接近於零。之前提過硬管的 qp 僅是流體的前、後移動，並無實質的淨流，因此使用 qs 計算週邊血管阻力，應屬合理之推估。然而 qp 所示流體的前、後移動對流體的實質流動，應有阻礙的作用，因此忽略脈態血流效應，單純使用 Poiseuille 定律推算週邊血管阻力，似乎有低估之嫌。
小小叮嚀：「吾人可以透過這些解析解來了解循環系統的原理，但是循環系統並不等價於這些解析解。」畢竟生物體之循環系統的血流非常複雜，血壓-血流關係並非如假設之線性關係，而且週邊血管也並非純然是硬管！
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