血管力學篇（3）：動脈系統的物理特性
文：台大張國柱
日期：2025/01/19
主動脈和大動脈的管壁含有較高彈性素/膠原蛋白比值（elastin/collagen ratio），故稱為彈性血管（elastic arteries）；週邊的小動脈或細動脈則具有較高膠原蛋白/彈性素比值，又稱為阻性血管（resistance vessels）。
從血流（blood flow）的觀點言，心臟收縮同時產生了兩個動作：
（1）左心室以高壓的方式，將血液由近心端推向週邊的組織或器官，形成導流（conduiting flow），小動脈和細動脈是發生血管阻力的主要所在，
（2）將左心室間歇性的射血轉化為循環系統平滑、連續的血流，主動脈和大動脈管的緩衝功能（cushioning function）扮演著唯一關鍵的角色。
此外血壓與血流在脈波傳輸的過程中，具有波動與反射的現象。因此彈性、阻性和脈波反射是描述動脈系統非常重要的三種物理性質（physical properties of the arterial system）。
動脈血行力學
動脈血行力學（arterial hemodynamics）之穩態和脈態層流，可以 Navier–Stokes 方程式（附註）和連續方程式（continuity equation）為基礎，加以說明與討論。
假設具圓形截面之圓柱管，長度為 L、半徑為 R。由於是圓柱管，此後之方程式就以圓柱坐標（x,r,θ）表示，其所對應之流體流速則為（u,v,w）。
（一）硬管的穩態層流（steady laminar flow in a rigid tube）
假設圓柱管為硬管。若將硬管放在同一水平面上，任何一處的流體元素（fluid element）所受的重力完全一樣，可以忽略不計。在沒有擾流的情況下，對發展完全的流速（fully developed flow rate）而言，u僅是半徑與時間的函數，也就是：u(r,t)，v = 0，w = 0，此時之 Navier–Stokes 方程式為：
ρ(∂u/∂t) + ∂P/∂x = η[(∂2u/∂r2) + (∂u/r∂r)] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）
公式（3）顯示：沿著管子而變的參數為壓力而非流速，也就是 P = P(x,t) ；流速僅是半徑的函數，也就是 u(r,t)。方程式（3）可用於硬管的穩態流速或脈態流速分析，但由於硬管的脈態流速僅是流體的前、後移動（back and forth movements），並沒有流體的實質淨流（net flow），因此本文不加以討論。
穩態解（steady-state solution）：阻性血管之血流
由於是硬管，因此流體流速不隨時間而改變，也就是說 P = Ps(x)，u = us(r)，那麼公式（3）便成為：
dPs/dx = η[(d2us/dr2) + (dus/rdr)] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4）
公式（4）與流體密度（ρ）無關。令ks = dPs/dx，ks < 0。配合兩個邊界條件：us(R) = 0、|us(0)| < ∞，解方程式（4）可得穩態層流之流速：
u(r) = (ks/4η) (r2 – R2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5）
對體積流速（volumetric flow rate，Qs）而言，
Qs = ∫u(r) × 2πrdr ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6）
由於圓柱管具對稱性，因此從 0 到 R 積分可得：
Qs = –ksπR4/8η ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）
公式（7）就是所謂的 Poiseuille 體積流速。
Poiseuille 定律提供吾人一個很重要的觀念，那便是週邊血管阻力（peripheral vascular resistance，Rp）：
Rp = [Ps(0) – Ps(L)]/Q = 8ηL/πR4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8）
註：Poiseuille 定律僅適用於（1）具圓形截面積之圓柱硬管，其流體特性為穩態層流，（2）僅表達平均血壓與平均血流之關係，也就是血管阻力。
根據黏滯力之定義：η = S/(du/dr)，S = 剪應力（shear stress），du/dr = 剪率（shear rate）。稍作調整可得S = η(du/dr)，由此可知管壁阻礙血流之剪應力為S|r=R = η(du/dr)|r=R = –4ηQ/πR3。由於管壁對血流所造成的剪應力與血流強加於管壁的剪應力（τs）大小相等、方向相反，故
τs = –S|r=R = 4ηQ/πR3 = R [Ps(0) – Ps(L)] /2L ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9）
對高血壓之主動脈而言，動脈管壁在高剪應力作用下，容易對內皮細胞造成傷害而產生破口，這一破口在血流的沖襲下容易導致主動脈剝離（dissecting aneurysm），對生命造成威脅。
（二）彈性管的脈態血流與脈波反射：主動脈管之血流
假設管子夠長（R/L << 1）、管壁夠薄（h/R << 1）而且僅有些微的彈性（um/c0 << 1，其中 um = x 軸流速之平均值，c0 = 脈波傳播速度）。在沒有擾流（w = 0）、但流體流速隨時間而變的情況下，u 和 v 不僅是半徑和時間的函數，而且與距離有關，也就是 u(x,r,t)，v(x,r,t)。此時Navier–Stokes方程式為：
ρ(∂u/∂t)+ ∂P/∂x = η[(∂2u/∂x2)+ (∂u/r∂r)] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10）
ρ(∂v/∂t)+ ∂P/∂r = η[(∂2v/∂r2)+ (∂v/r∂r)－(v/r2)] ⋯⋯⋯⋯⋯ （11）
此外流體之連續方程式（continuity equation）為：
∂u/∂x + ∂v/∂r + v/r = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12）
由於彈性管最重要的波反射效應可用 x–軸 之血壓與血流的變化表示，因此一維方法（one-dimensional method）便足以表達管子截面的流體流量特性，所以公式（11）可以略去而不加以考慮。一維方法的理論基礎即是「傳輸線理論（transmission line theorem）」，公式（10）便是 Womersley 所使用之方程式。
公式（10）、公式（12）配合複雜的邊界條件可推導出下列公式：
∂Q/∂t + (A/ρ)(∂P/∂x) = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13）
∂Q/∂x + (A/ρc0)(∂P/∂t) = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14）
其中A = 截面積，c0 = (Eh/ρ2R)1/2，E = 楊氏係數（Young’s modules）。將公式（13）對 x 作偏微、將公式（14）對 t 作偏微之後再作調整可得
∂2P/∂t2 = c02(∂2P/∂x2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15）
∂2Q/∂t2 = c02(∂2Q/∂x2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （16）
公式（15）、公式（16）即是所謂的一維波方程式（one–dimensional wave equations），這意味著血壓和血流是由相同形式的波方程式所調控，且其傳播速度相同。但這並不代表血壓波和血流波具有相同的相位（in phase），相反地，血壓波和血流波彼此互為反相（out of phase）。
波方程式之解可使用變數分離法為之，也就是 P(x,t) = Px(x)Pt(t)。假設管子入口處（x = 0）之趨動壓為：P(0,t) = P0eiωt = Px(0)Pt(t)，ω = 角頻率。令Px(0) = P0；Pt(t) = eiωt，所以P(x,t) = Px(x) eiωt。此時公式（15）便成為
d2Px/dx2 + (ω2/c02) Px = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （17）
方程式（17）之通解為
P(x,t) = Pf(x,t) + Pb(x,t) = Beiω(t-x/c0) + Ceiω(t+x/c0) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（18）
其中
Pf = Beiω(t-x/c0) = 血壓之前進波
Pb = Ceiω(t+x/c0) = 血壓之反射波
將 P(0,t) = P0eiωt 帶入公式（18），可得 B = P0。因此P(x,t) = P0eiω(t-x/c0)，稍作整理可得 p(x,t) = P(x,t)/ P0 = eiω(t-x/c0)。
令初始的前進波為：pf = eiω(t-x/c0)，反射波為：pb = Ceiω(t+x/c0)。在管子的末端（x = L），波反射係數（Rf）為：Rf = pb(L,t)/pf(L,t)，由此可解得C = Rfe-2iωL/c0，因此 pb(x,t) = Rfe-iω(t+x/c0-2L/c0)。由於管子任何一處之血壓波為其前進波與反射波之和，因此
p(x,t) = pf(x,t) + pb(x,t) = eiω(t-x/c0) + Rfe-iω(t+x/c0-2L/c0) ⋯⋯⋯⋯（19）
其中
Rf = pb(L,t)/pf(L,t) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（20）
因為起始之血壓前進波為：Pf(x,t) = P0eiω(t-x/c0)，其所對應之血流前進波為：Qf(x,t) = Beiω(t-x/c0)，其中 B 為常數。由公式（13）、公式（14）可知：∂Qf/∂t + (A/ρ)(∂Pf/∂x) = 0，∂Qf/∂x + (A/ρc02)(∂Pf/∂t) = 0。由此可得 B = (A/ρc0)P0，所以
Qf(x,t) = Beiω(t-x/c0) = (A/ρc0)P0 eiω(t-x/c0) = (A/ρc0)Pf(x,t) ⋯⋯⋯（21）
同理，血壓反射波為：Pb(x,t) = RfP0eiω(t+x/c0-2L/c0)，其所對應之血流反射波為：Qb(x,t) = C eiω(t+x/c0-2L/c0)，其中 C 為常數。將之帶入公式（13）、公式（14）可得 C = –(A/ρc0)P0，所以
Qb(x,t) = –(A/ρc0)Pb(x,t) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（22）
脈態血壓–血流之關係
（1）特徵阻抗（characteristic impedance，Zc）
特徵阻抗之定義：反射波不存在的情況下，血壓–血流關係便是動脈管的特徵阻抗。
Zc = Pf(x,t)/ Qf(x,t) = ρc0/A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（23）
Zc 受血管截面積與波速所調控。在截面積不變的情況下，特徵阻抗僅隨波速而改變，此時特徵阻抗可作為動脈管硬化的指標，Zc愈大，血管的硬化程度就愈高，反之亦然。
（2）血管輸入阻抗（vascular input impedance，Zi）
輸入阻抗之定義：血管入口處（x = 0）之脈態血壓對脈態血流的比值。
Zi = [P(x,t)/ Q(x,t)]|x=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（24）
由於
Pf(x,t) = P0 eiω(t-x/c0)，Qf(x,t) = (A/ρc0)Pf(x,t)；
Pb(x,t) = RfP0eiω(t+x/c0-2L/c0)，Qb(x,t) = –(A/ρc0)Pb(x,t)；
P(x,t) = Pf(x,t) + Pb(x,t) = P0 eiω(t-x/c0) + RfP0eiω(t+x/c0-2L/c0) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （25）
Q(x,t) = Qf(x,t) + Qb(x,t) = (1/Zc){ P0 eiω(t-x/c0)－RfP0eiω(t+x/c0-2L/c0)} ⋯（26）
將公式（25）、公式（26）帶入公式（24）可得：
Zi = Zc{[1+Rfe-iω2L/c0]/ [1－Rfe-iω2L/c0]} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（27）
結語
以體循環為例，動脈系統之組成包含：（1）具緩衝血量功能的主動脈和大動脈；（2）具調控組織、器官灌流的小動脈和細動脈。主動脈和大動脈的物理性質可用「彈性管的脈態血壓–血流關係，即公式（27）」加以描述，也就是波反射之時序、振幅與特徵阻抗；小動脈和細動脈的物理性質則表現於「硬管的穩態血壓–血流關係，即公式（7）」，也就是週邊血管阻力。因此動脈系統的物理特性可由彈性、阻性和脈波反射描述之。
小小整理：
P(x,t) = Pf(x,t) + Pb(x,t)，Q(x,t) = Qf(x,t) + Qb(x,t)；
Pf(x,t) = P0 eiω(t-x/c0)，Qf(x,t) = (A/ρc0)Pf(x,t)；
Pb(x,t) = RfP0eiω(t+x/c0-2L/c0)，Qb(x,t) = –(A/ρc0)Pb(x,t)；
Rf = Pb(L,t)/Pf(L,t)；
Zc = Pf(x,t)/Qf(x,t) = ρc0/A；
Zi = [P(x,t)/Q(x,t)]|x=0 = Zc{[1+Rfe-iω2L/c0]/ [1－Rfe-iω2L/c0]}；
其中 A = 圓柱管截面積，c0 = (Eh/ρ2R)1/2 = 波速。
附註
Navier–Stokes方程式是由一組特定的偏微分方程所組成，用來描述黏滯流體（viscous fluid）之運動行為。假設流體為不可壓縮（密度 ρ =常數）之非牛頓液（流體黏滯度 η ≠常數），此時流體之 Navier–Stokes 方程式為：
ρ(Dvi/Dt) = Xi – (∂P/∂xi) + η∇2vi + (∂η/∂xj)[(∂vj/∂xi + ∂vi/∂xj)]
i,j = 1,2,3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）
其中
D = (∂/∂t+vj∂/∂xj)；vj∂/∂xj = v1∂/∂x1 + v2∂/∂x2 + v3∂/∂x3
∇2 = ∂2/∂x12 + ∂2/∂x22 +∂2/∂x32
vi = 流體流速（flow velocity）
∂vi/∂t = 瞬時加速度（transient acceleration）
vj∂vi/∂xj = 位變加速度（convective acceleration）
ρ(Dvi/Dt) = 慣性力（inertial force）
Xi = 重力（gravitational force）
– ∂P/∂xi = 驅動力（driving pressure）
η∇2vi + (∂η/∂xj)[(∂vj/∂xi + ∂vi/∂xj)] = 黏滯力（viscous force）
Navier–Stokes 方程式非常複雜且具有非線性項（η ≠ 常數），難有解析解（analytic solution）。但若假設流體為牛頓黏滯液（η = 常數），那麼 Navier–Stokes 方程式即具線性化。線性化的 Navier–Stokes 方程式為：
ρ(Dvi/Dt) = Xi－(∂P/∂xi) + η∇2vi i,j = 1,2,3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）
公式（2）是 1955 年 Womersley 用來探討動脈系統之脈態血流（pulsatile blood flow in arteries）的基礎。
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